《理查德·费曼是如何革命量子理论的？》【鉴评家】量子力学的时空方法  老胡说科学 原创 01月09日 · 南京航空航天大学学生 关注  美国理论物理学家理查德·费曼是世界上最著名的科学家之一。费曼对理论物理学做出了巨大的贡献。包括量子力学路径积分、量子电动力学理论的发展（包括他著名的费曼图）、冷液氦超流态、量子计算和纳米技术等方面。1965年，他是诺贝尔物理学奖的获得者之一。  图1：美国理论物理学家、诺贝尔奖得主理查德·费曼。 美籍加拿大理论物理学家劳伦斯·克劳斯在他关于费曼的传记中引用了他的话: 用新的观点认识旧事物是一种乐趣。——理查德·费曼 在这篇文章中，我将介绍费曼基于路径积分的量子理论的新方法。 量子力学的旧方法 复制原子光谱量化的第一个成功尝试被称为矩阵力学。它是由德国理论物理学家维尔纳·海森堡在1925年发明的。同年，爱尔兰裔奥地利物理学家埃尔温·薛定谔创立了波动力学。一年之后，薛定谔自己证明了这两种方法的等价性。然而，量子力学的现代观点，即状态是希尔伯特空间中的数学实体，主要归功于英国理论物理学家保罗·狄拉克。在量子场论发展的推动下，量子力学的其他公式也得到了发展。  图2，海森堡，薛定谔，狄拉克 其中一种方法是路径积分法，它是经典力学作用原理的推广。在这种形式中，两种状态之间的量子跃迁是通过对所有可能的经典轨迹“求和”（更精确地计算一个泛函积分）得到的。因此，这个公式取代了经典的概念，即单个时空轨迹与系统的运动有关。虽然路径积分公式的发展涉及到其他科学家（如诺伯特·维纳和保罗·狄拉克），但完整的方法是由费曼在1948年提供的。  图3：费曼介绍新方法的文章。 费曼在《非相对论量子力学的时空方法》这篇文章的摘要中介绍了他的新方法： 量子力学在这里用另一种不同的方式表述。然而，它在数学上与我们熟悉的公式是等价的。在量子力学中，某一事件可能以几种不同的方式发生的概率，是复数贡献之和的绝对平方和，每种贡献都有一个。一个粒子在某个时空区域内存在路径x(t)的概率是该区域内每个路径贡献之和的平方。单个路径的贡献被假定为指数，其相位是所讨论路径的经典作用（以h/2π为单位）。ψ(x, t)波函数满足薛定谔方程。 首先，我将介绍量子传播子的概念。 量子传播 量子力学和量子场理论中的传播者是决定粒子在给定时间间隔内从一个位置移动到另一个位置的概率振幅的函数。跃迁振幅的模量的平方就是跃迁概率。 设时变的X(t)为海森堡图中的位置算子。考虑以下初始和最终向量状态：  方程1：态间的过渡。 是算子X(t)的特征态：  方程1中跃迁对应的传播子由下式给出：  方程2：与式1中的跃迁对应的传播子。 这个函数是一个跃迁振幅。 位置集的完备性 当然，当我们测量系统的位置（在某个固定的时间）时，我们得到任何结果的概率必须等于1。其结果是形成了一个完整的集合：  方程3 注意，右边的单位是恒等运算符。这个关系可以用来把传播子写成一连串的积分。换句话说，我们可以将转换写成中间转换的组合。最简单的例子是：  方程4：利用方程3将左边的传播算子重新表示为对x “的积分。积分表示了对所有可能的中间位置x “的两个连续转换。 利用传播子的这一组成性质，我们可以划分对应于两个状态之间跃迁的时间间隔  方程5：初态和终态之间的转变。 与长度等分  方程6：完全跃迁所对应的时间间隔可以与δt的长度等分。 然后将跃迁振幅写成振幅的组合：  方程7：过渡振幅是振幅的组成。 我们对所有可能的路径求和，重点固定。图4说明了这一点。  图4：经典轨迹、离散量子轨迹和连续量子轨迹。 图4最左边的图是经典力学的独特路径。为了得到这条路径，考虑一个具有拉格朗日函数L(x, dx/dt)的粒子。描述路径的拉格朗日运动方程是通过使运动极值得到的：  方程8：经典路径是通过极值这个作用得到的。 这就是汉密尔顿原理。 费曼的时空的方法 正如我们刚才看到的，在经典物理中，粒子运动有一个确定的路径，而在量子力学中，所有可能的路径都必须考虑进去。问题是，在h→0的极限下我们如何证明量子力学再现经典力学？ 在1933年的一篇论文中，保罗·狄拉克说了一句让费曼迷惑不解的话。调整符号，结论是：  式9：狄拉克的神秘言论 费曼对狄拉克这句话的意思感到困惑。他说的“对应”是什么意思？这个问题促使费曼提出了量子力学强有力的时空方法。  图5：狄拉克在他1933年的论文“量子力学中的拉格朗日”中神秘的评论。 对应于路径一小段的运动如下：  方程10：对应于一小段路径的动作。 对于给定的路径，我们用这些表达式相乘得到相应的振幅。方程5中过渡的传播器是通过对所有路径求和得到的：  方程11：公式5中跃迁的传播子是由所有可能路径的总和得到的。  图6：根据方程11对传播器做出贡献的一些路径。 对于非常小的h，这个和的唯一相关项对应于一条路径，如果我们稍微变形它就不会变化（因为h很小，由于指数的强振荡，其他路径的贡献被抵消了）。这意味着该路径满足方程8：  方程12：振幅只取决于经典路径。 因此，根据哈密顿原理，振幅只取决于经典路径。因此，经典力学在小h中得以恢复，这是应该的。 费曼将狄拉克公式11改写成比例关系：  方程13：费曼把狄拉克的假设写成比例关系。 在费曼传记中，詹姆斯·格莱克描述了两位伟人之间的对话： 费曼向窗外望去，看见了狄拉克……他有一个问题从战前就一直想问狄拉克。他走出去坐了下来。狄拉克在1933年的一篇论文中的评论给费曼提供了一条重要的线索，帮助他发现了经典力学中量子力学的作用。狄拉克写过，但他和其他任何人都没有追踪这条线索，直到费曼发现“对应”实际上是完全成比例的。现在，他问狄拉克，这位伟人是否一直知道这两个量是成比例的。“是吗?“狄拉克说。费曼说是的。沉默了一会儿，狄拉克走了。  图7：费曼在华沙的相对论会议上与狄拉克谈话。 为简单起见，设V=0，利用S(n, n-1)的线性近似，对方程13的两边积分，很快得到前因子1/w(δt)：  方程14：前因子计算后的方程13。 通过对所有中间步骤积分得到全路径的过渡幅值：  方程15：费曼公式中的过渡幅。 这里：  方程16：费曼路径积分。 这就是所谓的费曼路径积分，它是所有可能路径的和。如图4和图6所示。 这里注意到，与量子力学的其他公式相比，概率振幅不是量子态的线性复杂叠加。它是整个可选时空历史的量子叠加。这里的想法是量子力学有一个复杂的叠加的“另类现实”。然而，指数加权，通常称为振幅，  事实上，是一个“振幅密度”，因为有一个连续的无穷多个经典选择，因此我们必须在经典路径的空间上进行整合。因为我们有无限的经典路径，这个空间是无限维的。 此外，需要注意的是，轨迹不需要遵守狭义相对论的规则，只要端点是固定的，任何轨迹都是可能的。下面的图8说明了单粒子的情况。  图8 费曼和薛定谔方法的等价性 现在我们将证明费曼方法等价于薛定谔波动力学。我们开始这样写：  方程17：总振幅表示为两个步骤的组合，其中一个步骤的时间差是无穷小的。 我们假设：  方程18：ξ→0的定义。 我们现在将最终位置和最终时间重命名为x和t +δt，并在式18中使用ξ值，并将指数和振幅展开为ξ值的幂。收集项并进行平凡高斯积分得到：  方程19：费曼传播子的薛定谔方程。 我们的结论是，费曼的传播子和薛定谔的传播子是相同的对象。 展开 打开“今日头条”阅读全文 热门推荐 打开今日头条看更多 杨振宁：“我曾与爱因斯坦交流过90分钟，可惜没有获得任何智慧” 历史大观贺 11条评论 何泽慧：被称为中国的居里夫人，回复钱三强的求婚信只用25个单词 路生观史 147条评论 陈景润研究的“1+1”是什么，他又是如何证明“1+2”的 惯读史今 51条评论 最难理解的世界数学难题——霍奇猜想，拓扑学上空的一朵乌云 老胡说科学 45条评论 数学大神韦东奕一篇流体力学论文：轴对称NS方程的正则性准则 阿尔法经济研究 1019条评论 热门讨论 打开今日头条看更多  周少说 优质教育领域创作者 关注 这位数学老师真牛，把初中几何基本图形的解题思路和相关结论全都整理出来了，学生学完后，个个考试不低于90分，班主任激动的哭了。 初中几何图形是算比较难的一个知识模块了，很多同学在这一方面都搞不懂，弄不明白怎么去求证解答的，导致考试总是做不出来。 今天，周少给大家带来一份超全的初中几何基本图形的解题 12图 转发91185  科普数学思维 关注 “这是小学生能做的题吗？出题老师还是人吗？” 90%以上的人都会认为这道题超纲，不会做的人，也就过过嘴瘾。其实，要学好数学，真要有点天赋！你或许已经做过，求三角形AED面积的题目，这时其一道变式训练题，你还会做吗？ 主要考察学生的数学思维变通能力。 题目中为一大、一小两个正方形组成，其中小正方 转发15933  科普数学思维 关注 某名校初中入学分班考试题的一道填空题。别小看是填空题，分值少。如果此题不会做，说明学生数学功底一般。只能进入普通班，不可能进入重点班。题目为直角三角形ABC中，以边AC和BC为直径分别画圆，其中边AC长为4，BC边长为2。求阴影部分面积。 阴影部分由多个且不规则的图形组成，中等生直接放弃。 头条朋友 转发7852  胖妞不爱动 关注 牛津大学睡眠和昼夜节律神经科学研究所主任拉塞尔·福斯特教授在BBC的《生物钟之日》节目中所说：人类真的是一个超级傲慢的物种。我们以为能够抛弃40亿年的进化，忽略根据昼夜循环得到进化的这一事实。 也许只有人类这一个物种，会妄图凌驾于自己的生物钟之上。而且，长期违背生物钟，将导致严重的健康问题。 古 转发10  科普数学思维 关注 重庆某著名实验中学小升初选拔考试题。 此题可谓是考倒一大片学生，能做出来的可算是人中龙凤。 此题看似缺少条件，实则需要挖掘隐含条件。本题只要灵活地运用同底等高的方法就很容易求出来了。 题目： 如图，平行四边形ABCD中， E为AD上一点， 连接CE、BD相交于点F， 三角形BCF、DCF的面积分别为 转发7876 精彩视频 打开今日头条看更多 科学家发现长寿标志物，这3项指标联合分析，可预测长寿的概率 06:40 尹烨 13万次播放 中国大学教授用哲学推翻爱因斯坦相对论？不禁想起几年前的韩春雨 02:49 正史也疯狂 36万次播放 王淦昌：两弹一星元勋，3次放弃诺贝尔奖，为国隐姓埋名17年 12:34 史籍档案 3491次播放 漫威宇宙战力顶点英雄降临地球，所过之处都是灾难，他要摧毁地球 06:04 长片短解 52万次播放 生物安全和生物战有多远？为什么说抢占生物科技最前沿刻不容缓！ 07:22 遇见木苏 2.2万次播放 搜索 量子全景照片费曼记忆法背诵口诀拉格朗日乘数法量子最美的一张照片理查德费曼年轻图片理查德费曼名人趣事 实时热榜 打开今日头条看更多 1 朱婷赵帅任东京奥运中国代表团旗手 1400万 2 环球：对中国人实施恐袭者虽远必诛 1146万 3 公安部派专家赴巴基斯坦调查 1037万 4 东京奥运村出现首例新冠确诊病例 939万 5 新华社：美制裁大棒不过是纸老虎 768万 去今日头条看更多精彩内容 今日头条 北京字节跳动科技有限公司 版本号：8.3.4 应用大小：44.19M 权限列表 隐私政策